R7 騒音・振動概論 問25
問題
図⒜のばね定数 kのばね 4 個で質量mを支持する 1 自由度振動系で表すことのできる機械を，図⒝のばね定数 2k のばね 9 個で質量 2mを支持する機械に入れ替えた場合，⒝の固有振動数は，⒜の固有振動数のおよそ何倍になるか。
- (1) 1.25
- (2) 1.5
- (3) 1.75
- (4) 2
- (5) 2.25
解説
この問題は、1自由度振動系における固有振動数の変化を、ばね定数と質量の変化から算出する計算問題です。
1. 固有振動数の公式
減衰のない1自由度系の固有振動数 f0 は、以下の式で表されます。
f0 = 1/2π √(K/m)
- K：系全体の合成ばね定数
- m：物体の質量
2. 図(a)の固有振動数 (fa) の算出
ばね定数：ばね定数 k のばねが 4個 並列に設置されているため、合成ばね定数 K = 4k となります。
質量：m
固有振動数： fa = 1/2π √(4k/m) = 1/2π • 2√(k/m)
3. 図(b)の固有振動数 (fb) の算出
ばね定数：ばね定数 2k のばねが 9個 並列に設置されているため、合成ばね定数 Kb = 9 × 2k = 18k となります。
質量：2m
固有振動数： fb = 1/2π • √(18k/2m) = 1/2π • √(9k/m) = 1/2π • 3√(k/m)
4. 倍率の比較
図(a)に対する図(b)の固有振動数の比を求めます。
fb / fa = 3/2 = 1.5 倍
したがって、選択肢 (2) が正解となります。
計算のポイント
合成ばね定数の考え方：ばねが並列に並んでいる場合、全体のばね定数は個々のばね定数の単純な和になります。
ルートの中身に注意：固有振動数は「ばね定数に比例」し「質量に反比例」しますが、どちらもルート（平方根）の中にあることを忘れないようにしましょう。
解答．
2
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