問題
入口と出口の管径が等しい膨張形消音器を騒音対策に用いる。仕様として最大の伝達損失が 15 dB 以上となるように要求されているとき，この仕様を満たす膨張比のうち最も小さな値はどれか。ただし，伝達損失 R は次式で求められる。
R=10log｛1+1/4(m-1/m)2sin2(kl)｝(dB)
ここに，m：膨張比，k：波長定数（rad/m），l：膨張部の空洞の長さ（m）
⑴ 2
⑵ 4
⑶ 8
⑷ 16
⑸ 32
解説
最大の伝達損失とあり、sinは-1≦sin≦1なので、sin=1となります。
また、伝達損失が15dB以上を踏まえて、伝達損失の式に代入します。
15≦10log{1+1/4(m-1/m)2}
1.5≦log{1+1/4(m-1/m)2}
log101.5≦log{1+1/4(m-1/m)2}
101.5≦1+1/4(m-1/m)2
対数表から、100.5=3.16を代入します。
10×3.16=1+1/4(m-1/m)2
122.4≦(m-1/m)2
この右辺に、選択肢の数値をそれぞれ代入します。
(1)(2-1/2)2=2.25
(2)(4-1/4)2=14
(3)(8-1/8)2=62
(4)(16-1/16)2=254
(5)(32-1/32)2=1022
以上から、式を満たすmの最小値は(4)となります。
別解
問題文の伝達損失の式に選択肢の膨張比をそのまま当てはめる方法です。
R=10log｛1+1/4(m-1/m)2sin2(kl)｝(dB)
最大の伝達損失なので、sin2(kl)の部分は1とします。
→R=10log｛1+1/4(m-1/m)2｝(dB)
⑴ Rm=2=10log｛1+1/4(2-1/2)2｝=10log1.56=1.93
なお対数表から、log1.56=0.193です。以下同様です。
⑵ Rm=4=10log｛1+1/4(4-1/4)2｝=10log4.52=6.55
⑶ Rm=8=10log｛1+1/4(8-1/8)2｝=10log16.6=12.2
⑷ Rm=16=10log｛1+1/4(16-1/16)2｝=10log64.5=18.1
⑸ Rm=32=10log｛1+1/4(32-1/32)2｝=10log257=24.1
いずれの解き方でも正解は分かりますが、各自が理解しやすい方法、間違えずに解ける方法を選んでください。
解答 4
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上の解説で間違いがあります。
10log10→誤り
10log→正しい
それと、この問題はsinがわかっていないと解けませんか？
ご指摘ありがとうございます。
問題文を修正したので、ご確認お願いします。
また、高校の文系数学で三角比を習ってない方は、-1≦sin≦1は分からないので、解説は理解出来ないと思います。
sinの周期関数でπ/2の時、1と言うことですよね？https://www.optics-words.com/math/tri/trigonometric_ratio_10.html
その通りです。
私はあまり賢くないので計算式を試験時に簡潔にする方が恐らく時間がかかってしまうので、最初の段階で答えをを代入して計算しようと思っていますが問題ないでしょうか。
正解に辿り着ければ、解き方はどちらでも良いと思います。
参考にご質問の解法も解説に追加したので、よろしければご覧ください。
解説までご丁寧にありがとうございます。